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Introduction
复分析的世界很奇妙、有趣。让我们开始研究它吧！
我们开始研究的起点是一个点子：将一个普通的、参数为实数的函数拓展到参数为复数的函数。
嗯，这个点子的中心思想是一个 从复平面到其自身 的函数：
$$ f : \mathbb{C} \to \mathbb{C} $$
更广泛地说，复数形态的函数被定义在 $\mathbb{C}$ 的开放子集。
有人可能会不赞成这么做，因为从我们这个点子里并没法掏出新东西，因为任何复数 z 都可以被写为$z = x + iy \,\,\, where \,\,\, x，y∈\mathbb{R}$的形式，z 就可以被 ${\mathbb{R}}^{2}$ 中的点（x，y）确定了。
呃，但是，如果我们在 f: 上做出了自然、但是误导的简单假设： $f:$ 在 "复杂的感觉" 中可微，那么一切都会发生巨大变化。
这种假设被称作全纯性（holomorphicity），它塑造了本书中讨论的大部分理论。
我们说 $ f : \mathbb{C} \to \mathbb{C} $ 在点 $z∈\mathbb{C}$ 上面是全纯的，如果限制
$$ \lim _ {h\rightarrow 0} \frac {f(z+h)-f(z)}{h} (h \in \mathbb{C}) $$
存在.
这和你在高等数学课上学到的对 可微性(可导性) 的定义一样哦,区别是我们这里允许 h 为复数.
这个假设如此意义深远的原因是,实际上,它涵盖多种条件: 可以这么说，h 能接近零的每一个角度 .
虽然有的人看到这里已经按不住激动的心情,迫不及待想拿实数中的微积分相关定理来推导出全纯函数的相关定理,不过读者很快会发现 复分析 是一个新主题，该主题向定理提供了适合自己本性的定理证明.
实际上，我们在接下来的章节中讨论的全纯函数的主要特性的证明，通常非常简短且很有启发性。
复分析领域的研究沿着两条经常相交的路线进行.
- 第一种路线,我们试图了解全态函数的普遍特征.
- 第二种路线,我们研究某些特定的函数,(事实上)其他数学领域对这些特定的函数有极大的兴趣。
当然,我们不能没有在没有探索过另外一条路的前提下,沿着一条路走的太远.
我们将从全纯函数的某些普遍特征开始研究，这些特征是由三个奇迹般的事实所包含的:
- 围道积分 (contour integration): 如果 f 在 Ω 中全纯, 则对于 Ω
的适当闭合路径
$$ \begin{aligned}\int_{\gamma}f(z)dz=0.\end{aligned} $$
- 规律性 (regularity): 如果 f 全纯，则 f 无限可微。
- 解析延拓 (analytic continuation): 如果 f 和 g 在 Ω 中是全纯函数,而且 Ω 中的任意小圆盘中相等 ,那么在 Ω 中,f = g 处处成立.
这三个现象和其他全纯函数的一般特性将在本书的开头章节中讲解。我们没有试图总结本卷其余部分的内容，而是简要介绍了该主题的其他几个亮点。
- Zeta 函数，以无限序列表示:
$$\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} ,$$
最初是在半平面re（s）> 1中定义的，并保证总和的收敛性。该函数及其变体（L系列）在质数理论中至关重要，并且已经出现在Book I中的第8章中，其中我们证明了Dirichlet的定理。在这里，我们将证明ζ延伸至s = 1的极点延伸到meromorthic函数。我们将看到Re（S）= 1的ζ（s）的行为（尤其是ζ在该线上不会消失））领导了素数定理的证明.
- theta 函数
$$\Theta(z|\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi in^2\tau}e^{2\pi inz} ,$$
以下为机翻
它实际上是两个复变量 z 和 τ 的函数，它对所有 z 都是全纯的，但只对半平面 Im(τ ) > 0 中的 τ 是全纯的。
一方面，当我们固定 τ 并将 Θ 视为 z 的函数时，它与椭圆（双周期）函数理论密切相关。
另一方面，当 z 固定时，Θ 在上半平面上显示出模函数的特征。
函数 Θ(z|τ ) 出现在 Book I 中，是圆上热方程的基本解。它将再次用于研究 zeta 函数，以及第 6 章和第 10 章中给出的组合学和数论中某些结果的证明。
我们讨论的另外两个值得注意的主题是：傅里叶变换及其通过轮廓积分与复分析的优雅联系，以及由此产生的泊松求和公式的应用；
还有共形映射，其多边形映射的逆由 Schwarz-Christoffel 公式实现，以及矩形的特殊情况，这导致椭圆积分和椭圆函数。
以上为机翻